五、相似变换

[相似变换] 如果有一非奇异矩阵X（即det X¹ 0）使得

B= AX

那末称矩阵A与矩阵B相似，也称A经相似变换化为B，记作A~ B.它具有下列性质：

1° A~ A,At ~ A.

2° 若A~ B,则B~ A.

3° 若A~ C,B~ C,则A~ B.

4° (A₁+ A₂+...+ A_m)X=A₁X+A₂X+ ...+A_mX

5°

6° A^mX=(AX)^m

7° 若为矩阵A的多项式，则

X=

8° 若A~ B，则

A与B的秩相同，即rank A=rank B.

A与B的行列式相同，即det A=det B.

A与B的迹（定义见本节，七）相同，即tr A=tr B.

A与B具有相同的特征多项式和特征值（本节，七）.

[正交变换] 若Q为正交矩阵（即=Qt ）,则称

Qt AQ

为矩阵A的正交变换，其性质与相似变换类似.特别还有性质：

对称矩阵A经正交变换后仍是对称矩阵.

[旋转变换] 取正交矩阵U为

U_pq=(u_ij)=

即

这时称

B=

为A的旋转变换，q 称为旋转角，如果A是对称矩阵，那末B的元素b_ij与A的元素a_ij有

如下对应关系：

同时有性质：

=

若取旋转角

则旋转变换使