方  程  类  型

解法要点与通解表达式

  1．变量可分离方程

  f₁(x)g₁(y)dx+ f₂(x)g₂(y)dy=0

  分离变量，两边同除以g₁(y)f₂(x),再分别积分.

 2. 齐次方程

  一般假设

则变量可分离，属类型1

  令

代入原方程，得新未知函数u关于自变量x的方程：

              xdu = [F(u) – u]dx

再按类型1求解.

当q(x) ≡ 0, 称为齐次线性方程，当, 称为非齐次线性方程

  先求出所对应的齐次线性方程

的通解  

  再利用常数变易法(本章§3,二,2),令

算出, 代入原来的非齐次线性方程,可得

4．伯努利方程

  利用变量替换化原方程为关于新未知函数的线性方程，再按类型3求解.

5．全（恰当）微分方程

  M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

式中M，N满足

方程可写成

    M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU(x,y)=0

式中dU是全（恰当）微分.

6．可将y解出的方程

       y=F(x,p)

式中

  把方程两边对x求导数，得

或            

如果能求出此方程的通解或, 那末原方程可解.

[拉格朗日方程]

      y = xf₁(p) + f₂(p)

式中是已知可微函数

[克莱罗方程]

      y = xp+F(p)

式中是已知可微函数

 可化为x的线性方程

再按类型3求解

  化为方程

令, 即p =c，代入原方程.

        (见§2,三)

7.可将x解出的方程

      x = F(y, p)

式中

  方程两边对x求导数,利用

如果可求出这个方程的通解

那末原方程可解.

8.不显含未知函数的方程

引入适当参数t，化原方程为

9.不显含自变量的方程

引入参数t，化原方程为

10．能化为变量可分离或齐次方程的方程

（a）令z = ax + by + c，化原方程为类型1

（b）若行列式

引进新变量

式中α,β满足方程组

则原方程化成齐次方程(类型2):

若=0, b₁≠0, 则令z = a₁x + b₁ y + c₁ ；

若=0, b₂≠0, 则令z = a₂x + b₂ y + c_2,

于是原方程化为类型1.

11.黎卡提方程

  如果已知原方程有一个特解y=y₁(x), 作变换

可把原方程化为线性方程(类型3)：

或用变换y = y₁(x) + u 化为伯努利方程(类型4):

再分别按类型3和类型4求解.

12. 含积分因子的方程

M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0

式中

但存在μ(x, y)满足

μ(x, y)称为原方程的积分因子

找出积分因子μ(x, y),再按类型5求解.找积分因子的方法见下表.

条    件

积分因子

μ(x, y)

条    件

积分因子

μ(x, y)

xM+yN=0

xM+yN≠0

M,N是同次的齐次式

M(x, y) = yM₁ (xy)

N(x, y) = xN₁(xy)

 存在适合

的常数m和n(用比较系数法确定)

即M+iN在使微分方程满足的单连通区域内是x+iy的解析函数

形为 m(x)n(y)

  x^myⁿ