§2   圆与正多边形

 

一、      与圆有关的各量计算公式

 

式中表示AMB弧所对应的圆心角∠AOB的角度（下同），C为ANB弧上的任意点.

 

  [两割线及其夹角]

AE·BE= CE·DE=ET2

 

 

 AE·BE= CE·DE=r2-OE2

 式中r为圆的半径.

   

  [圆内接四边形面积S]

   

                                  式中

   a,b,c,d为四边

 

二、      与圆有关的各种图形的面积、几何重心与转动惯量计算公式

 

图形

面积、几何重心与转动惯量

O为圆心,r为半径,d为直径

 

 

O为圆心,r为半径,d为直径

 

 

周长  

重心   G与圆心O重合

转动惯量

(a)转轴通过圆心,且垂直于圆所在平面(图(a))

      

(b)转轴与圆圈的直径重合(图(b))

      

(c)转轴为圆圈的一条切线(图(c ))

      

 

 

 

 

 

 

面积  

重心   G与圆心O重合

转动惯量

(a)转轴通过圆心,且垂直于圆所在平面(图(a))

      

(b)转轴与圆的直径重合(图(b))

      

(c)转轴为圆的某直径平行,其距离为h(图(c ))

      

        

 

 

 

 

 

 

 

 

图形

面积、几何重心与转动惯量

r为半径,b为弦长,为弧s所对应的圆心角的度数,为其弧度数,O为圆心

 

面积  

重心  

转动惯量

(a)转轴与GO重合(图(a))

      

(b)转轴通过G点,且平行于直径AB(图(b))

      

       

 

 

 

 

弧长  

面积  

重心  

         

转动惯量

(a)转轴在图形平面上通过G点,且垂直于GO(图(a))

 

(b)转轴与GO重合(图(b))

 

 (当时,即为四分之一圆形)

 

 

 

 

 

 

图形

面积、几何重心与转动惯量

r为半径,b为弦长(b=2a),h为拱高,为圆心角度数,为圆心角弧度数,s为弧长,O为圆心

 

 

 

 

 

 

 

R为外半径,r为内半径,D为外直径,d为内直径,O为圆心

弦长  

       

拱高  

面积  

        

  

重心 

(当时,弓形即为半圆形)

转动惯量

(a)   转轴与GO重合(图(a))

 

(b)   转轴通过重心G,且与弦平行(图(b))

面积 

       

     式中  t=R-r为环宽,

           为平均直径

重心   G与圆心O重合

转动惯量

转轴在图形平面上,且通过G点

(图(a))

    

    

      

 

 

 

 

 

图形

面积、几何重心与转动惯量

 

同前,为所对应的圆心角的度数,为其弧度数

 

 

 

 

 

 

 

 

r为半径,d为直径,l为圆心距,,为新月形张开角度,为其弧度数

面积  

        

重心  

         

转动惯量  转轴与GO重合(图(a))

    

      

 

 

面积  

        

        

     式中 

 

重心  

      

 

0.1

0.2

0.3

0.4

0.399

0.795

1.182

1.556

 

 

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.913

2.247

2.551

2.815

3.024

 

 

 

 

三、         正多边形各量换算公式与比例系数表

 

n为边数                    R为外接圆半径

a为边长                    r为内切圆半径

为圆心角       S为多边形面积

重心G与外接圆心O重合

 

 

 

正多边形各量换算公式表

各量

正三角形

正方形

正五边形

正六边形

正n边形

图

 

 

形

 

S

 

 

 

 

 

 

a

 

 

R

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

正多边形各量比例系数表

 

n

a/R

R/a

r/a

3

4

5

6

7

8

9

10

 

12

15

16

20

 

0.4330

1.0000

1.7205

2.5981

3.6339

4.8284

6.1818

7.6942

 

11.196

17.642

20.109

31.569

 

1.2990

2.0000

2.3776

2.5981

2.7364

2.8284

2.8925

2.9389

 

3.0000

3.0505

3.0615

3.0902

 

5.1962

4.0000

3.6327

3.4641

3.3710

3.3137

3.2757

3.2492

 

3.2154

3.1883

3.1826

3.1677

 

1.7321

1.4142

1.1756

1.0000

0.8678

0.7654

0.6840

0.6180

 

0.5176

0.4158

0.3902

0.3129

 

0.5774

0.7071

0.8507

1.0000

1.1524

1.3066

1.4619

1.6180

 

1.9319

2.4049

2.5629

3.1962

 

0.2887

0.5000

0.6882

0.8660

1.0383

1.2071

1.3737

1.5388

 

1.8660

2.5323

2.5137

3.1569

 

n

a/R

R/a

r/a

24

32

48

64

45.575

81.225

183.08

325.69

3.1058

3.1214

3.1326

3.1366

3.1597

3.1517

3.1461

3.1441

0.2611

0.1960

0.1308

0.0981

3.8306

5.1012

7.6449

10.190

3.7979

5.0766

7.6285

10.178